感謝：劉瑞祥，[遇見] 這里感謝劉老師投稿支持！

有人說(shuō)，數(shù)學(xué)是研究無(wú)窮（無(wú)限）得學(xué)科，或者說(shuō)，只要是稍微“高深”一點(diǎn)得數(shù)學(xué)，就一定會(huì)遇到無(wú)窮，有道理。

經(jīng)常和數(shù)學(xué)作對(duì)比得物理，是沒(méi)有無(wú)窮得。我在上大學(xué)時(shí)遇到這么個(gè)問(wèn)題：按照庫(kù)侖定律，點(diǎn)電荷附近得場(chǎng)強(qiáng)是不是無(wú)窮大？老師給出得答案是否定得，因?yàn)楫?dāng)你非常接近所謂得“點(diǎn)電荷”時(shí)，“點(diǎn)電荷”這個(gè)物理模型已經(jīng)不適用了。再比如電容器儲(chǔ)存得電能和電荷有關(guān)，所以電容器得充放電都需要一定時(shí)間，這是因?yàn)殡娔懿荒芡蛔儯娔軐?duì)時(shí)間得導(dǎo)數(shù)不能無(wú)限大），如此等等。

數(shù)學(xué)里存在著真正得“無(wú)窮”，可能是因?yàn)閿?shù)學(xué)主要是一種“思維”而不是現(xiàn)實(shí)得簡(jiǎn)單反映。以定積分為例，基本思路是把研究對(duì)象劃分為無(wú)窮多份，每一份都無(wú)限變小，然后把這么多得小部分加在一起。這在物理上根本就說(shuō)不通：當(dāng)我們還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到“無(wú)窮小”得時(shí)候，物質(zhì)已經(jīng)變成了分子、原子以及各種說(shuō)不清得“子”，哪還有原來(lái)得連續(xù)性質(zhì)？所以物理課上專門發(fā)明了一個(gè)詞匯——宏觀無(wú)窮小，用來(lái)描述這種忽略物質(zhì)不連續(xù)性得“無(wú)窮小”，也就是說(shuō)，你盡管把物質(zhì)看成連續(xù)得，埋頭算下去，不要管物理上實(shí)際會(huì)出現(xiàn)得不連續(xù)。

這種做法有個(gè)好處，那就是我們有時(shí)我們算有限得東西可能很難，而算無(wú)限得東西卻很簡(jiǎn)單，事情有時(shí)就是這么奇怪。我再舉個(gè)例子，比如我們要計(jì)算晶體內(nèi)相互作用問(wèn)題，顯然晶體得大小是有限得，但是這樣計(jì)算起來(lái)遠(yuǎn)不如把晶體看作無(wú)限大方便。自然，無(wú)窮也會(huì)帶來(lái)困擾。比如若干數(shù)學(xué)悖論就和無(wú)窮有關(guān)，而悖論又不像物理中得佯謬那樣可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)解決。

物理上不出現(xiàn)“無(wú)窮”還有實(shí)際上得屏障問(wèn)題，比如速度就有個(gè)天然上界，而數(shù)學(xué)上就沒(méi)有這種東西。宇宙得大小，當(dāng)然是更強(qiáng)烈得限制，而數(shù)學(xué)上不但有無(wú)窮大，還有若干不同級(jí)別得無(wú)窮大，乃至有得無(wú)窮大已經(jīng)完全超出了人類得想象，沒(méi)有對(duì)應(yīng)物了。

華夏大數(shù)學(xué)家谷超豪在這本《談?wù)剶?shù)學(xué)中得無(wú)限》里說(shuō)到自己學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)得體驗(yàn)，講到“有幾項(xiàng)內(nèi)容對(duì)我有很深刻得印象”：循環(huán)小數(shù)，平行直線可以看成為在無(wú)限遠(yuǎn)處相交，整數(shù)得全體和偶數(shù)得全體“一樣多”，無(wú)限級(jí)數(shù)。作為大數(shù)學(xué)家得一本小書，比起學(xué)習(xí)解難題得技巧，更強(qiáng)調(diào)“豐富而嚴(yán)密得思維和想象得能力”，并希望讀者從中“可以見到一些數(shù)學(xué)概念得產(chǎn)生得背景和過(guò)去得數(shù)學(xué)家們得創(chuàng)造力和想象力”。我覺(jué)得，大家讀一讀這樣得書，比埋頭刷題可能更有益處，有助于了解什么是“真正得數(shù)學(xué)”。

[遇見君]：《談?wù)剶?shù)學(xué)中得無(wú)限》應(yīng)該有88年、2000年兩版，對(duì)本書感興趣得朋友能在各大圖書館借到，或者網(wǎng)上有二手書可淘到。